Номер 772 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 772.
Квадрат разности корней уравнения х² + рх + 90 = 0 равен 81. Найдите р.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета, чтобы выразить сумму и произведение корней через коэффициент p. Затем раскрой скобки в выражении (x₁ - x₂)² и преобразуй его, используя формулу квадрата суммы.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим корни уравнения как x₁ и x₂.
По теореме Виета для уравнения x² + px + 90 = 0:
- x₁ + x₂ = -p
- x₁ · x₂ = 90
По условию задачи квадрат разности корней равен 81: (x₁ - x₂)² = 81
Раскроем скобки: x₁² - 2x₁x₂ + x₂² = 81
Пеregroupируем: (x₁² + x₂²) - 2x₁x₂ = 81
Выразим x₁² + x₂² через сумму и произведение: (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ - 2x₁x₂ = 81 (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 81
Подставим известные значения: (-p)² - 4 · 90 = 81 p² - 360 = 81 p² = 441 p = ±21
Проверка: Если p = 21: x² + 21x + 90 = 0 Корни: x₁ = -6, x₂ = -15 (−6 − (−15))² = 9² = 81 ✓
Если p = -21: x² - 21x + 90 = 0 Корни: x₁ = 6, x₂ = 15 (6 − 15)² = (−9)² = 81 ✓