Номер 771 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 771.
Частное корней уравнения 4х2 + bх - 27 = 0 равно -3. Найдите b.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй условие на частное корней: если x₁/x₂ = -3, то x₁ = -3x₂. Подставь это выражение в формулу произведения корней из теоремы Виета, чтобы найти сами корни, а затем через формулу суммы корней найди b.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим корни уравнения как x₁ и x₂.
По условию задачи: x₁ / x₂ = -3
Отсюда: x₁ = -3x₂
Применим теорему Виета для уравнения 4x² + bx - 27 = 0.
Для уравнения вида ax² + bx + c = 0:
- сумма корней: x₁ + x₂ = -b/a
- произведение корней: x₁ · x₂ = c/a
Для нашего уравнения:
- x₁ + x₂ = -b/4
- x₁ · x₂ = -27/4
Подставим x₁ = -3x₂ в произведение корней: (-3x₂) · x₂ = -27/4 -3x₂² = -27/4 x₂² = 9/4 x₂ = ±3/2
Найдём x₁: Если x₂ = 3/2, то x₁ = -3 · 3/2 = -9/2 Если x₂ = -3/2, то x₁ = -3 · (-3/2) = 9/2
Найдём b, используя сумму корней:
Для первого случая: x₁ + x₂ = -9/2 + 3/2 = -6/2 = -3 -3 = -b/4 b = 12
Для второго случая: x₁ + x₂ = 9/2 + (-3/2) = 6/2 = 3 3 = -b/4 b = -12
Проверка для b = 12: 4x² + 12x - 27 = 0 Корни: x = (-12 ± √(144 + 432))/8 = (-12 ± √576)/8 = (-12 ± 24)/8 x₁ = 12/8 = 3/2, x₂ = -36/8 = -9/2 Частное: (3/2) / (-9/2) = (3/2) · (-2/9) = -3 ✓
Проверка для b = -12: 4x² - 12x - 27 = 0 Корни: x = (12 ± √(144 + 432))/8 = (12 ± 24)/8 x₁ = 36/8 = 9/2, x₂ = -12/8 = -3/2 Частное: (9/2) / (-3/2) = (9/2) · (-2/3) = -3 ✓