Номер 755 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 755.
Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь два последовательных натуральных числа как n и n + 1. Составь выражения для квадрата суммы и суммы квадратов, затем составь уравнение по условию задачи.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим два последовательных натуральных числа как n и (n + 1).
Шаг 1. Составим выражение для квадрата суммы. (n + (n + 1))² = (2n + 1)²
Шаг 2. Составим выражение для суммы квадратов. n² + (n + 1)² = n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n + 1
Шаг 3. По условию задачи квадрат суммы больше суммы квадратов на 112: (2n + 1)² - (2n² + 2n + 1) = 112
Шаг 4. Раскроем скобки в левой части: 4n² + 4n + 1 - 2n² - 2n - 1 = 112 2n² + 2n = 112
Шаг 5. Разделим обе части на 2: n² + n = 56
Шаг 6. Перенесём всё в левую часть: n² + n - 56 = 0
Шаг 7. Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = 1 + 4 · 56 = 1 + 224 = 225 = 15²
Шаг 8. Найдём корни: n = (-1 + 15) / 2 = 14 / 2 = 7 n = (-1 - 15) / 2 = -16 / 2 = -8 (не подходит, так как n должно быть натуральным)
Шаг 9. Первое число: n = 7, второе число: n + 1 = 8
Шаг 10. Проверка: Квадрат суммы: (7 + 8)² = 15² = 225 Сумма квадратов: 7² + 8² = 49 + 64 = 113 Разность: 225 - 113 = 112 ✓