Номер 753 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 753.
Найдите пять последовательных целых чисел, если известно, что сумма квадратов трех первых чисел равна сумме квадратов двух последних.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь пять последовательных чисел через n. Составь уравнение, приравняв сумму квадратов первых трёх чисел к сумме квадратов двух последних. Раскрой скобки и упрости.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим пять последовательных целых чисел как: n, n+1, n+2, n+3, n+4
По условию задачи: сумма квадратов трёх первых чисел равна сумме квадратов двух последних.
Составим уравнение: n² + (n+1)² + (n+2)² = (n+3)² + (n+4)²
Раскроем скобки слева: n² + n² + 2n + 1 + n² + 4n + 4 = (n+3)² + (n+4)² 3n² + 6n + 5 = (n+3)² + (n+4)²
Раскроем скобки справа: 3n² + 6n + 5 = n² + 6n + 9 + n² + 8n + 16 3n² + 6n + 5 = 2n² + 14n + 25
Перенесём всё в левую часть: 3n² + 6n + 5 - 2n² - 14n - 25 = 0 n² - 8n - 20 = 0
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: D = (-8)² - 4·1·(-20) = 64 + 80 = 144 = 12²
n = (8 ± 12) / 2
n₁ = (8 + 12) / 2 = 10 n₂ = (8 - 12) / 2 = -2
Для n = 10: числа 10, 11, 12, 13, 14 Проверка: 10² + 11² + 12² = 100 + 121 + 144 = 365 13² + 14² = 169 + 196 = 365 ✓
Для n = -2: числа -2, -1, 0, 1, 2 Проверка: (-2)² + (-1)² + 0² = 4 + 1 + 0 = 5 1² + 2² = 1 + 4 = 5 ✓