Номер 741 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 741.
Решите уравнение с параметром k
x² − (4k + 1)x + 2(2k² + k − 3) = 0
💡 Подсказка (без ответа)
Найди дискриминант через параметр k. Если он получится константой (не содержит k), то уравнение всегда имеет решение. Затем применяй стандартную формулу корней квадратного уравнения.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решаем уравнение x² − (4k + 1)x + 2(2k² + k − 3) = 0
Это квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где:
- a = 1
- b = −(4k + 1)
- c = 2(2k² + k − 3)
Шаг 1: Найдём дискриминант D = b² − 4ac
D = [−(4k + 1)]² − 4 · 1 · 2(2k² + k − 3) D = (4k + 1)² − 8(2k² + k − 3) D = 16k² + 8k + 1 − 16k² − 8k + 24 D = 1 + 24 D = 25
Шаг 2: Заметим, что дискриминант не зависит от k и всегда равен 25!
Это означает, что уравнение имеет два действительных корня при любом значении параметра k.
Шаг 3: Применим формулу корней квадратного уравнения
x = [(4k + 1) ± √25] / 2 x = [(4k + 1) ± 5] / 2
Шаг 4: Найдём два корня
Первый корень: x₁ = [(4k + 1) + 5] / 2 = (4k + 6) / 2 = 2k + 3
Второй корень: x₂ = [(4k + 1) − 5] / 2 = (4k − 4) / 2 = 2k − 2
Шаг 5: Проверим на частном примере (например, k = 0):
Уравнение: x² − x − 6 = 0 Корни по нашей формуле: x₁ = 3, x₂ = −2 Проверка: 3² − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0 ✓ и (−2)² − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0 ✓
Ответ верен!