Номер 670 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 670.
Составьте квадратное уравнение, зная его корни:
а) $$
\frac{\sqrt{3}-1}{2} \text { и } \frac{\sqrt{3}+1}{2} ;
$$
б) 2 − $$\sqrt{3}$$ и $$
\frac{1}{2-\sqrt{3}} .
$$
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу для составления уравнения по корням: x² − (сумма корней)·x + (произведение корней) = 0. В части б) сначала упрости второй корень, избавившись от иррациональности в знаменателе (умножь на сопряжённое выражение).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Для составления квадратного уравнения по его корнам используем формулу: x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0
а) Корни: (√3 − 1)/2 и (√3 + 1)/2
Шаг 1. Найдём сумму корней: x₁ + x₂ = (√3 − 1)/2 + (√3 + 1)/2 = (√3 − 1 + √3 + 1)/2 = 2√3/2 = √3
Шаг 2. Найдём произведение корней: x₁ · x₂ = ((√3 − 1)/2) · ((√3 + 1)/2) = ((√3 − 1)(√3 + 1))/4
Применим формулу разности квадратов (a − b)(a + b) = a² − b²: = (3 − 1)/4 = 2/4 = 1/2
Шаг 3. Составим уравнение: x² − √3 · x + 1/2 = 0
Или, умножив на 2, чтобы избежать дроби: 2x² − 2√3x + 1 = 0
б) Корни: 2 − √3 и 1/(2 − √3)
Шаг 1. Упростим второй корень, избавившись от иррациональности в знаменателе: 1/(2 − √3) = 1/(2 − √3) · (2 + √3)/(2 + √3) = (2 + √3)/(4 − 3) = 2 + √3
Шаг 2. Найдём сумму корней: x₁ + x₂ = (2 − √3) + (2 + √3) = 4
Шаг 3. Найдём произведение корней: x₁ · x₂ = (2 − √3)(2 + √3) = 4 − 3 = 1
Шаг 4. Составим уравнение: x² − 4x + 1 = 0