Номер 613 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 613.
Выясните, какой из прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, имеет наибольшую площадь. Вычислите эту площадь.
1) Обозначьте длину одного из катетов через х см и составьте выражение для вычисления площади треугольника. 2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение. 3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте один катет через х см, тогда второй катет будет (6 - х) см. Запишите формулу площади S = (1/2) × х × (6 - х) и упростите её. Используйте формулу вершины параболы для квадратичной функции, чтобы найти, при каком х площадь наибольшая.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
1) Обозначаем один катет и составляем выражение для площади
Обозначим длину одного катета через х см.
Тогда второй катет равен (6 - х) см, так как сумма катетов равна 6 см.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
S = (1/2) × катет₁ × катет₂
S(х) = (1/2) × х × (6 - х) = (1/2)(6х - х²) = 3х - 0,5х²
Так как катеты положительны, то: 0 < х < 6
2) Исследуем, при каких значениях х площадь максимальна
Нам нужно найти наибольшее значение функции S(х) = 3х - 0,5х² на промежутке (0; 6).
Это квадратичная функция, график которой — парабола, ветви направлены вниз (коэффициент при х² отрицательный).
Для такой функции наибольшее значение достигается в вершине параболы.
Формула абсциссы вершины параболы y = ах² + bх + c:
х = -b/(2a)
У нас: S(х) = -0,5х² + 3х
a = -0,5, b = 3
х = -3/(2 × (-0,5)) = -3/(-1) = 3
Проверим: х = 3 находится в промежутке (0; 6) ✓
3) Вычисляем максимальную площадь
При х = 3 см первый катет равен 3 см.
Второй катет равен 6 - 3 = 3 см.
Площадь S = 3 × 3 - 0,5 × 3² = 9 - 0,5 × 9 = 9 - 4,5 = 4,5 см²
Ответ: Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 см и 3 см (равнобедренный прямоугольный треугольник), имеет наибольшую площадь, равную 4,5 см².