Номер 610 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 610.
Даны квадратные трехчлены х² − 6х + 11 и −х² + 6х − 11. Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй − положительных.
💡 Подсказка (без ответа)
Выделите полный квадрат в первом трехчлене: представьте x² − 6x + 11 в виде суммы квадрата двучлена и положительного числа. Для второго трехчлена воспользуйтесь первым результатом, вынеся минус за скобки.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Доказательство для первого трехчлена: x² − 6x + 11
Выделим полный квадрат. Для этого берем коэффициент при x (это −6), делим его пополам (получаем −3) и возводим в квадрат (получаем 9).
Переписываем: x² − 6x + 11 = x² − 6x + 9 + 2 = (x − 3)² + 2
Смотрим на результат: (x − 3)² ≥ 0 для всех значений x (квадрат любого числа не может быть отрицательным).
Следовательно: (x − 3)² + 2 ≥ 0 + 2 = 2 > 0
Значит, первый трехчлен всегда положительный и никогда не равен отрицательным значениям. ✓
Доказательство для второго трехчлена: −x² + 6x − 11
Вынесем минус за скобки: −x² + 6x − 11 = −(x² − 6x + 11)
Но мы уже знаем, что x² − 6x + 11 = (x − 3)² + 2, и это всегда ≥ 2.
Следовательно: −x² + 6x − 11 = −((x − 3)² + 2) = −(x − 3)² − 2 ≤ −2 < 0
Значит, второй трехчлен всегда отрицательный и никогда не принимает положительных значений. ✓