Номер 569 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 569.
Число диагоналей р выпуклого многоугольника вычисляется по формуле p = n(n − 3)/2, где n − число сторон. В каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?
💡 Подсказка (без ответа)
Составьте уравнение, используя формулу для диагоналей. Если диагоналей на 25 больше, чем сторон, то p = n + 25. Подставьте в формулу и решите квадратное уравнение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим число сторон многоугольника как n.
По условию задачи диагоналей на 25 больше, чем сторон. Это значит: p = n + 25
Подставляем формулу для p: n(n - 3)/2 = n + 25
Умножим обе части уравнения на 2: n(n - 3) = 2(n + 25)
Раскроем скобки: n² - 3n = 2n + 50
Перенесём все в левую часть: n² - 3n - 2n - 50 = 0 n² - 5n - 50 = 0
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: D = (-5)² - 4 · 1 · (-50) = 25 + 200 = 225 √D = 15
n = (5 + 15)/2 = 20/2 = 10 или n = (5 - 15)/2 = -10/2 = -5
Так как число сторон не может быть отрицательным, то n = 10.
Проверка:
- Число диагоналей: p = 10(10 - 3)/2 = 10 · 7/2 = 35
- Число сторон: 10
- Разница: 35 - 10 = 25 ✓