Номер 565 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 565.
В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь гипотенузу буквой c и вырази оба катета через c. Затем примени теорему Пифагора и реши полученное квадратное уравнение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим гипотенузу буквой c. Тогда:
- Первый катет = c - 3
- Второй катет = c - 6
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: (первый катет)² + (второй катет)² = (гипотенуза)²
Подставляем наши выражения: (c - 3)² + (c - 6)² = c²
Раскрываем скобки: (c² - 6c + 9) + (c² - 12c + 36) = c²
Упрощаем левую часть: 2c² - 18c + 45 = c²
Перенесём всё в левую часть: 2c² - c² - 18c + 45 = 0 c² - 18c + 45 = 0
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: D = b² - 4ac = (-18)² - 4·1·45 = 324 - 180 = 144
Находим корни: c = (18 ± √144) / 2 = (18 ± 12) / 2
c₁ = (18 + 12) / 2 = 30 / 2 = 15 c₂ = (18 - 12) / 2 = 6 / 2 = 3
Проверяем: если c = 3, то первый катет = 3 - 3 = 0 (невозможно), второй катет = 3 - 6 = -3 (невозможно). Значит, c = 3 не подходит.
Если c = 15: Первый катет = 15 - 3 = 12 см Второй катет = 15 - 6 = 9 см Проверка: 12² + 9² = 144 + 81 = 225 = 15² ✓