Номер 553 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 553.
Существует ли такое значение а, при котором уравнение х² − ах + а − 4 = 0:
а) не имеет корней; б) имеет один корень; в) имеет два корня?
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни формулу дискриминанта D = b² − 4ac и как количество корней зависит от его знака. Вычисли дискриминант для данного уравнения и упрости выражение, выделив полный квадрат.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решаем с помощью дискриминанта. Для квадратного уравнения х² − ах + а − 4 = 0 выпишем коэффициенты:
A = 1, B = −a, C = a − 4
Дискриминант: D = B² − 4AC = (−a)² − 4 · 1 · (a − 4) = a² − 4a + 16
Упростим: D = a² − 4a + 16
Теперь проверим каждый случай:
а) Уравнение не имеет корней
Нужно, чтобы D < 0: a² − 4a + 16 < 0
Выделим полный квадрат: a² − 4a + 16 = (a − 2)² − 4 + 16 = (a − 2)² + 12
Получилось (a − 2)² + 12. Так как (a − 2)² ≥ 0, то (a − 2)² + 12 ≥ 12 > 0.
Дискриминант всегда положительный! Значит, уравнение всегда имеет корни при любом a.
Ответ: ТАКИХ ЗНАЧЕНИЙ a НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
б) Уравнение имеет один корень
Нужно, чтобы D = 0: a² − 4a + 16 = 0 (a − 2)² + 12 = 0
Но (a − 2)² + 12 ≥ 12 > 0 при всех a.
Это уравнение не имеет решений.
Ответ: ТАКИХ ЗНАЧЕНИЙ a НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
в) Уравнение имеет два корня
Нужно, чтобы D > 0: a² − 4a + 16 > 0
Мы уже выяснили, что (a − 2)² + 12 > 0 при ВСЕХ значениях a.
Это неравенство верно для любого a.
Ответ: ДА, уравнение имеет два корня ПРИ ЛЮБОМ ЗНАЧЕНИИ a.