Номер 491 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 491.
Докажите, что значения выражений $$ \sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{7-4 \sqrt{3}} $$ и $$ \sqrt{7+4 \sqrt{3}} \sqrt{7-4 \sqrt{3}} $$ являются натуральными числами.
💡 Подсказка (без ответа)
Для первого выражения перемножь подкоренные выражения под один корень и применить формулу (A + B)(A - B) = A² - B². Для второго — возведи сумму в квадрат и используй результат из первой части.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим для удобства: a = √(7 + 4√3) b = √(7 - 4√3)
Нужно доказать, что оба выражения a + b и a·b — натуральные числа.
Часть 1: Найдём a·b
a·b = √(7 + 4√3) · √(7 - 4√3) = √[(7 + 4√3)(7 - 4√3)]
Применим формулу разности квадратов (A + B)(A - B) = A² - B²:
(7 + 4√3)(7 - 4√3) = 7² - (4√3)² = 49 - 16·3 = 49 - 48 = 1
Поэтому: a·b = √1 = 1
Вывод: произведение равно 1 — это натуральное число!
Часть 2: Найдём a + b
Возведём сумму в квадрат: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Знаем:
- a² = 7 + 4√3
- b² = 7 - 4√3
- ab = 1
Подставляем: (a + b)² = (7 + 4√3) + 2·1 + (7 - 4√3) = 7 + 4√3 + 2 + 7 - 4√3 = 16
Следовательно: a + b = √16 = 4
(Берём положительный корень, так как оба слагаемых положительны)
Вывод: сумма равна 4 — это натуральное число!