Номер 492 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 492.
Докажите, что значение выражения есть число рациональное:
а) $$
\frac{1}{3 \sqrt{2}-5}-\frac{1}{3 \sqrt{2}+5}
$$
б) $$
\frac{1}{7+2 \sqrt{6}}+\frac{1}{7-2 \sqrt{6}}
$$
💡 Подсказка (без ответа)
В обоих случаях приведи дроби к общему знаменателю. Знаменатель будет вида (a−b)(a+b) = a² − b², что избавит от корней. Затем упрости числитель — корни сократятся, и останется отношение целых чисел.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Пункт а) Доказать, что выражение (1/(3√2−5) − 1/(3√2+5)) рационально
Шаг 1. Приведём дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель: (3√2−5)(3√2+5)
Шаг 2. Заметим, что знаменатель — это разность квадратов: (a−b)(a+b) = a² − b²
(3√2−5)(3√2+5) = (3√2)² − 5² = 9·2 − 25 = 18 − 25 = −7
Шаг 3. Найдём числитель. Приведём дроби:
1/(3√2−5) − 1/(3√2+5) = [(3√2+5) − (3√2−5)] / (−7)
Шаг 4. Упростим числитель:
(3√2+5) − (3√2−5) = 3√2 + 5 − 3√2 + 5 = 10
Шаг 5. Вычислим:
10 / (−7) = −10/7
Это рациональное число! ✓
Пункт б) Доказать, что выражение (1/(7+2√6) + 1/(7−2√6)) рационально
Шаг 1. Приведём дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель: (7+2√6)(7−2√6)
Шаг 2. Применим разность квадратов: (a+b)(a−b) = a² − b²
(7+2√6)(7−2√6) = 7² − (2√6)² = 49 − 4·6 = 49 − 24 = 25
Шаг 3. Найдём числитель:
1/(7+2√6) + 1/(7−2√6) = [(7−2√6) + (7+2√6)] / 25
Шаг 4. Упростим числитель:
(7−2√6) + (7+2√6) = 7 − 2√6 + 7 + 2√6 = 14
Шаг 5. Вычислим:
14 / 25 = 0,56
Это рациональное число! ✓