Номер 455 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 455.
Известно, что число а рациональное, а число b иррациональное. Будет ли рациональным или иррациональным число:
а) a + b б) a − b
💡 Подсказка (без ответа)
Используй метод доказательства от противного. Предположи, что сумма (или разность) — рациональное число, и посмотри, что получится, если выразишь иррациональное число b через рациональные числа.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Разберёмся с каждым случаем, используя определения рациональных и иррациональных чисел.
Определения:
- Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби p/q, где p и q — целые числа, q ≠ 0
- Иррациональное число — число, которое нельзя представить в виде такой дроби
а) a + b (рациональное число + иррациональное число)
Предположим, что a + b = c, где c — рациональное число.
Тогда b = c − a
По нашему предположению:
- c рациональное (что мы предположили)
- a рациональное (дано)
Разность двух рациональных чисел всегда рациональна: c − a = рациональное число.
Но мы знаем, что b — иррациональное число! Получилось противоречие.
Значит, наше предположение неверно. Число a + b не может быть рациональным.
Ответ: a + b — иррациональное число
б) a − b (рациональное число − иррациональное число)
Предположим, что a − b = c, где c — рациональное число.
Тогда a − c = b
По нашему предположению:
- a рациональное (дано)
- c рациональное (что мы предположили)
Разность двух рациональных чисел всегда рациональна: a − c = рациональное число.
Но мы знаем, что b — иррациональное число! Получилось противоречие.
Значит, наше предположение неверно. Число a − b не может быть рациональным.
Ответ: a − b — иррациональное число