Номер 432 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 432.
Среди чисел есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.
15$$\sqrt{3}$$ − 4$$\sqrt{2}$$, 6 − $$\sqrt{12}$$, $$\sqrt{80}$$ − 5$$\sqrt{3}$$, $$\sqrt{75}$$ − 4$$\sqrt{5}$$, $$ \frac{1}{2 \sqrt{3}-6} $$, $$ \frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}} $$
💡 Подсказка (без ответа)
Для поиска противоположных чисел найди такую пару, сумма которых равна нулю. Упростите подкоренные выражения и посмотрите, какие числа можно переставить местами. Для поиска взаимно обратных чисел упростите дроби, избавившись от иррациональности в знаменателе (умножьте на сопряжённое выражение), а затем проверьте произведение пар.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим числа:
А = 15√3 − 4√2 Б = 6 − √12 В = √80 − 5√3 Г = √75 − 4√5 Д = 1/(2√3 − 6) Е = 1/(√675 − √32)
Шаг 1. Упростим числа, где можно.
Б = 6 − √12 = 6 − 2√3
В = √80 − 5√3 = 4√5 − 5√3
Г = √75 − 4√5 = 5√3 − 4√5
Шаг 2. Упростим дроби, избавляясь от иррациональности в знаменателе.
Д = 1/(2√3 − 6)
Умножим числитель и знаменатель на (2√3 + 6):
Д = (2√3 + 6)/((2√3 − 6)(2√3 + 6)) = (2√3 + 6)/(12 − 36) = (2√3 + 6)/(−24) = −(2√3 + 6)/24 = −(√3 + 3)/12
Е = 1/(√675 − √32)
Упростим подкоренные: √675 = √(225·3) = 15√3, √32 = 4√2
Е = 1/(15√3 − 4√2)
Умножим на сопряжённое (15√3 + 4√2):
Е = (15√3 + 4√2)/((15√3)² − (4√2)²) = (15√3 + 4√2)/(675 − 32) = (15√3 + 4√2)/643
Шаг 3. Ищем противоположные числа (их сумма = 0).
В = 4√5 − 5√3 Г = 5√3 − 4√5
В + Г = (4√5 − 5√3) + (5√3 − 4√5) = 0 ✓
В и Г — противоположные числа.
Шаг 4. Ищем взаимно обратные числа (их произведение = 1).
А = 15√3 − 4√2
Е = (15√3 + 4√2)/643
А · Е = (15√3 − 4√2) · (15√3 + 4√2)/643 = ((15√3)² − (4√2)²)/643 = (675 − 32)/643 = 643/643 = 1 ✓
А и Е — взаимно обратные числа.