Номер 431 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 431.
Докажите, что числа $$ 2-\sqrt{3}_{\text {и }} 2+\sqrt{3} $$ являются взаимно обратными, а числа $$ 2 \sqrt{6}-5 $$ и $$ \frac{1}{2 \sqrt{6}+5} $$ − противоположными.
💡 Подсказка (без ответа)
Для взаимно обратных чисел проверь, что их произведение равно 1 (используй формулу разности квадратов). Для противоположных чисел проверь, что их сумма равна 0 (сначала избавься от иррациональности в знаменателе дроби).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Часть 1. Доказать, что 2 - √3 и 2 + √3 взаимно обратны
Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.
Проверим произведение: (2 - √3)(2 + √3)
Это произведение суммы и разности одинаковых слагаемых. Используем формулу: (a - b)(a + b) = a² - b²
Получаем: (2 - √3)(2 + √3) = 2² - (√3)² = 4 - 3 = 1
Так как произведение равно 1, числа 2 - √3 и 2 + √3 являются взаимно обратными. ✓
Часть 2. Доказать, что 2√6 - 5 и 1/(2√6 + 5) противоположны
Два числа называют противоположными, если их сумма равна 0.
Сначала упростим дробь 1/(2√6 + 5). Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное число (2√6 - 5):
1/(2√6 + 5) = (2√6 - 5)/[(2√6 + 5)(2√6 - 5)]
Вычислим знаменатель: (2√6 + 5)(2√6 - 5) = (2√6)² - 5² = 4·6 - 25 = 24 - 25 = -1
Получаем: 1/(2√6 + 5) = (2√6 - 5)/(-1) = -(2√6 - 5) = -2√6 + 5 = 5 - 2√6
Теперь найдем сумму: (2√6 - 5) + (5 - 2√6) = 2√6 - 5 + 5 - 2√6 = 0
Так как сумма равна 0, числа 2√6 - 5 и 1/(2√6 + 5) являются противоположными. ✓