Номер 223 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 223.
Докажите, что если a/b = b/c = c/a, то a = b = c.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте все три равные дроби одной переменной (например, k), выразите a, b, c через k, затем найдите, какое значение k возможно. Подставьте это значение обратно.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нам нужно доказать, что если три дроби равны между собой, то все три переменные одинаковые.
Шаг 1. Обозначим общее значение этих дробей через k: a/b = b/c = c/a = k
Шаг 2. Из каждого равенства выразим переменные через k:
- Из a/b = k получаем: a = kb
- Из b/c = k получаем: b = kc
- Из c/a = k получаем: c = ka
Шаг 3. Подставим первое выражение во второе: a = kb b = kc Значит: a = k(kc) = k²c
Шаг 4. Подставим полученное выражение в третье: a = k²c c = ka Значит: c = k(k²c) = k³c
Шаг 5. Сократим на c (c ≠ 0, иначе дроби не имели бы смысла): 1 = k³ Это значит: k = 1
Шаг 6. Если k = 1, то из наших выражений:
- a = 1 · b = b
- b = 1 · c = c
- c = 1 · a = a
Получаем: a = b, b = c, c = a
Вывод: a = b = c. Что и требовалось доказать.