Номер 209 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 209.
Найдите все пары натуральных чисел а и b, если известно, что сумма обратных им чисел равна 1/7.
💡 Подсказка (без ответа)
Составь уравнение 1/a + 1/b = 1/7 и приведи к общему знаменателю. Потом перенеси всё в одну часть и попробуй выделить произведение скобок вида (a - 7)(b - 7) = какое-то число. Найди делители этого числа.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно найти натуральные числа a и b такие, чтобы сумма их обратных равнялась 1/7.
Шаг 1. Составим уравнение по условию. Сумма обратных чисел — это 1/a + 1/b. По условию: 1/a + 1/b = 1/7
Шаг 2. Приведём левую часть к общему знаменателю. (b + a)/(ab) = 1/7
Шаг 3. Применим свойство пропорции (крест-накрест). 7(a + b) = ab 7a + 7b = ab
Шаг 4. Перенесём все в одну сторону и преобразуем. ab - 7a - 7b = 0 ab - 7a - 7b + 49 = 49 a(b - 7) - 7(b - 7) = 49 (a - 7)(b - 7) = 49
Шаг 5. Найдём делители числа 49. 49 = 1 × 49 = 7 × 7
Шаг 6. Рассмотрим все случаи. Пусть a - 7 = d₁ и b - 7 = d₂, где d₁ · d₂ = 49 и d₁, d₂ — натуральные делители.
Случай 1: a - 7 = 1, b - 7 = 49 a = 8, b = 56 Проверка: 1/8 + 1/56 = 7/56 + 1/56 = 8/56 = 1/7 ✓
Случай 2: a - 7 = 7, b - 7 = 7 a = 14, b = 14 Проверка: 1/14 + 1/14 = 2/14 = 1/7 ✓
Случай 3: a - 7 = 49, b - 7 = 1 a = 56, b = 8 Проверка: 1/56 + 1/8 = 1/56 + 7/56 = 8/56 = 1/7 ✓
Шаг 7. Выпишем ответ (считая пары (a,b) и (b,a) одинаковыми для неупорядоченных пар). Пары: (8; 56), (14; 14), (56; 8)