Номер 208 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 208.
Докажите, что при любом целом а, отличном от нуля, значение дроби 5a² + 6/a² + 1 не является целым числом
💡 Подсказка (без ответа)
Предположи, что дробь равна целому числу k. Вырази a² через k и заметь, что для целости a² нужны очень ограниченные значения k. Проверь, возможны ли такие значения при a ≠ 0.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что дробь (5a² + 6)/(a² + 1) не целая ни при каком целом a ≠ 0.
Шаг 1. Предположим противное — что эта дробь равна целому числу k: (5a² + 6)/(a² + 1) = k
Шаг 2. Умножим обе части на (a² + 1): 5a² + 6 = k(a² + 1) 5a² + 6 = ka² + k
Шаг 3. Перенесём всё в левую часть: 5a² + 6 - ka² - k = 0 a²(5 - k) + (6 - k) = 0
Шаг 4. Выразим a²: a²(5 - k) = k - 6
Шаг 5. Если 5 - k ≠ 0, то: a² = (k - 6)/(5 - k)
Шаг 6. Так как a — целое число, то a² — целое неотрицательное число. Значит, дробь (k - 6)/(5 - k) должна быть целым неотрицательным числом.
Шаг 7. Преобразуем дробь, выделив целую часть: (k - 6)/(5 - k) = -(k - 6)/(k - 5) = -(k - 5 - 1)/(k - 5) = -1 + 1/(k - 5)
Шаг 8. Чтобы это выражение было целым, нужно чтобы 1/(k - 5) было целым. Это возможно только если k - 5 = ±1, то есть k = 6 или k = 4.
Шаг 9. Проверим k = 6: a² = (6 - 6)/(5 - 6) = 0/(-1) = 0 Тогда a = 0, но по условию a ≠ 0. Противоречие!
Шаг 10. Проверим k = 4: a² = (4 - 6)/(5 - 4) = -2/1 = -2 Это невозможно, так как a² ≥ 0. Противоречие!
Шаг 11. Случай 5 - k = 0, то есть k = 5: Тогда 0 = 5 - 6 = -1. Это ложь, противоречие!
Заключение: при любом целом a ≠ 0 дробь не может быть целым числом.