Номер 199 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 199.
Докажите, что при всех допустимых значениях а и b является тождеством равенство
5x + 31/(x − 5)(x + 2) = a/x − 5 + b/x + 2
1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.
2) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.
3) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.
💡 Подсказка (без ответа)
Приведите правую часть уравнения к общему знаменателю (x − 5)(x + 2). Затем приравняйте числители левой и правой частей полученного равенства, раскройте скобки и составьте систему уравнений для коэффициентов при x и свободного члена.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решение задания №199
1) Обсуждение преобразований:
Чтобы доказать тождество, надо:
- Привести правую часть к общему знаменателю
- Приравнять числители левой и правой частей
- Составить систему уравнений для нахождения a и b
- Решить систему и убедиться, что решение существует при допустимых значениях
2) Выполнение преобразований:
Правая часть: a/(x − 5) + b/(x + 2)
Приводим к общему знаменателю (x − 5)(x + 2):
= [a(x + 2) + b(x − 5)] / [(x − 5)(x + 2)]
= [ax + 2a + bx − 5b] / [(x − 5)(x + 2)]
= [(a + b)x + (2a − 5b)] / [(x − 5)(x + 2)]
Левая часть: (5x + 31) / [(x − 5)(x + 2)]
Приравниваем числители: 5x + 31 = (a + b)x + (2a − 5b)
Составляем систему уравнений:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
- При x: a + b = 5
- При свободном члене: 2a − 5b = 31
Решаем систему:
Из первого уравнения: a = 5 − b
Подставляем во второе: 2(5 − b) − 5b = 31 10 − 2b − 5b = 31 10 − 7b = 31 −7b = 21 b = −3
Находим a: a = 5 − (−3) = 5 + 3 = 8
3) Ответ и проверка:
Получили: a = 8, b = −3
Проверка: 8/(x − 5) − 3/(x + 2) = [8(x + 2) − 3(x − 5)] / [(x − 5)(x + 2)]
= [8x + 16 − 3x + 15] / [(x − 5)(x + 2)]
= [5x + 31] / [(x − 5)(x + 2)] ✓
Тождество доказано. Равенство справедливо при всех допустимых значениях (x ≠ 5 и x ≠ −2).