Номер 1317 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1317.
Докажите, что если числа a, b и c таковы, что a + b ≠ 0, b + c ≠ 0, c + a ≠ 0, то при
x = a − b/a + b, y = b − c/b + c, z = c − a/c + a верно неравенство (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 − x)(1 − y)(1 − z)
💡 Подсказка (без ответа)
Выразите 1 + x, 1 − x, 1 + y, 1 − y, 1 + z, 1 − z через общий знаменатель. Затем перемножьте выражения в левой части и в правой части отдельно. Вы заметите, что числители и знаменатели одинаковые.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим x = (a − b)/(a + b), y = (b − c)/(b + c), z = (c − a)/(c + a).
Нужно доказать, что (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 − x)(1 − y)(1 − z).
Шаг 1. Найдём 1 + x: 1 + x = 1 + (a − b)/(a + b) = (a + b + a − b)/(a + b) = 2a/(a + b)
Шаг 2. Найдём 1 − x: 1 − x = 1 − (a − b)/(a + b) = (a + b − a + b)/(a + b) = 2b/(a + b)
Шаг 3. Аналогично для y: 1 + y = 1 + (b − c)/(b + c) = (b + c + b − c)/(b + c) = 2b/(b + c)
1 − y = 1 − (b − c)/(b + c) = (b + c − b + c)/(b + c) = 2c/(b + c)
Шаг 4. Аналогично для z: 1 + z = 1 + (c − a)/(c + a) = (c + a + c − a)/(c + a) = 2c/(c + a)
1 − z = 1 − (c − a)/(c + a) = (c + a − c + a)/(c + a) = 2a/(c + a)
Шаг 5. Вычислим левую часть (1 + x)(1 + y)(1 + z): (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (2a)/(a + b) · (2b)/(b + c) · (2c)/(c + a) = 8abc/[(a + b)(b + c)(c + a)]
Шаг 6. Вычислим правую часть (1 − x)(1 − y)(1 − z): (1 − x)(1 − y)(1 − z) = (2b)/(a + b) · (2c)/(b + c) · (2a)/(c + a) = 8abc/[(a + b)(b + c)(c + a)]
Шаг 7. Видим, что: (1 + x)(1 + y)(1 + z) = 8abc/[(a + b)(b + c)(c + a)] = (1 − x)(1 − y)(1 − z)
Что и требовалось доказать.