Номер 1318 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1318.
На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько точек отмечено на плоскости, если известно, что всего проведено 45 прямых?
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, что число способов выбрать 2 точки из n точек вычисляется по формуле сочетаний: C(n,2) = n(n-1)/2. Составь уравнение, приравняв эту формулу к 45, и реши квадратное уравнение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Когда через каждые две точки проводится одна прямая, нужно найти, сколько способов можно выбрать 2 точки из всех отмеченных точек.
Это задача на сочетания. Если на плоскости отмечено n точек, то число прямых равно числу способов выбрать 2 точки из n точек.
Формула числа сочетаний из n по 2: C(n,2) = n(n-1)/2
По условию задачи, всего 45 прямых, значит: n(n-1)/2 = 45
Умножим обе части на 2: n(n-1) = 90
Раскроем скобки: n² - n = 90
Перенесём всё в левую часть: n² - n - 90 = 0
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: D = 1 + 4·90 = 1 + 360 = 361 √D = 19
Находим корни: n₁ = (1 + 19)/2 = 20/2 = 10 n₂ = (1 - 19)/2 = -18/2 = -9
Так как число точек не может быть отрицательным, n = 10.
Проверка: 10·9/2 = 90/2 = 45 ✓