Номер 1287 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1287.
Докажите, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида $$ a+b \sqrt{2} $$, где a и b − рациональные числа, могут быть представлены в таком же виде.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрой скобки при каждой операции и собери коэффициенты отдельно при рациональной части и при √2. Для деления используй умножение на сопряжённое выражение (a − b√2).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что для чисел вида a + b√2 (где a и b — рациональные) результаты арифметических операций имеют такой же вид.
Сумма: Пусть даны два числа: (a₁ + b₁√2) и (a₂ + b₂√2) (a₁ + b₁√2) + (a₂ + b₂√2) = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)√2 Так как a₁ + a₂ — рациональное число и b₁ + b₂ — рациональное число, сумма имеет вид a + b√2.
Разность: (a₁ + b₁√2) − (a₂ + b₂√2) = (a₁ − a₂) + (b₁ − b₂)√2 Так как a₁ − a₂ — рациональное число и b₁ − b₂ — рациональное число, разность имеет вид a + b√2.
Произведение: (a₁ + b₁√2) · (a₂ + b₂√2) = a₁a₂ + a₁b₂√2 + b₁a₂√2 + b₁b₂ · 2 = (a₁a₂ + 2b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂)√2 Так как a₁a₂ + 2b₁b₂ — рациональное число и a₁b₂ + b₁a₂ — рациональное число, произведение имеет вид a + b√2.
Частное: (a₁ + b₁√2) / (a₂ + b₂√2) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число (a₂ − b₂√2): = [(a₁ + b₁√2)(a₂ − b₂√2)] / [(a₂ + b₂√2)(a₂ − b₂√2)]
Знаменатель: (a₂ + b₂√2)(a₂ − b₂√2) = a₂² − 2b₂² (рациональное число, если a₂² − 2b₂² ≠ 0)
Числитель: (a₁ + b₁√2)(a₂ − b₂√2) = a₁a₂ − a₁b₂√2 + b₁a₂√2 − 2b₁b₂ = (a₁a₂ − 2b₁b₂) + (b₁a₂ − a₁b₂)√2
Частное: [(a₁a₂ − 2b₁b₂) + (b₁a₂ − a₁b₂)√2] / (a₂² − 2b₂²) = [(a₁a₂ − 2b₁b₂)/(a₂² − 2b₂²)] + [(b₁a₂ − a₁b₂)/(a₂² − 2b₂²)]√2
Оба коэффициента — рациональные числа, поэтому частное имеет вид a + b√2.