Номер 1288 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1288.
Пара чисел х = 3, у = 2 является решением уравнения $$ (x+y \sqrt{2})(x-y \sqrt{2})=1 $$. Покажите, что существует много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.
💡 Подсказка (без ответа)
Проверьте, что произведение (x + y√2)(x - y√2) разворачивается по формуле разности квадратов. Затем возведите обе части исходного уравнения в степень и попытайтесь выразить новые x и y через старые.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Проверим, что пара х = 3, у = 2 является решением:
Подставляем х = 3, у = 2 в уравнение (x + y√2)(x - y√2) = 1
Применяем формулу разности квадратов (a + b)(a - b) = a² - b²: (3 + 2√2)(3 - 2√2) = 3² - (2√2)² = 9 - 4·2 = 9 - 8 = 1 ✓
Теперь найдём другие решения. Если (x₁ + y₁√2)(x₁ - y₁√2) = 1, то возведём обе части уравнения в квадрат:
[(x + y√2)(x - y√2)]² = 1² (x + y√2)²(x - y√2)² = 1
Раскроем (x + y√2)²: (x + y√2)² = x² + 2xy√2 + 2y² = (x² + 2y²) + 2xy√2
Раскроем (x - y√2)²: (x - y√2)² = x² - 2xy√2 + 2y² = (x² + 2y²) - 2xy√2
Перемножим эти выражения: [(x² + 2y²) + 2xy√2]·[(x² + 2y²) - 2xy√2] = 1 (x² + 2y²)² - (2xy)²·2 = 1 (x² + 2y²)² - 8x²y² = 1
Для исходной пары х = 3, у = 2: x² + 2y² = 9 + 8 = 17 2xy = 2·3·2 = 12
Тогда новая пара будет: х₂ = x² + 2y² = 17 у₂ = 2xy = 12
Проверка: (17 + 12√2)(17 - 12√2) = 17² - (12√2)² = 289 - 144·2 = 289 - 288 = 1 ✓
Аналогично для пары х₂ = 17, у₂ = 12 найдём следующую: х₃ = 17² + 2·12² = 289 + 288 = 577 у₃ = 2·17·12 = 408
Так продолжая этот процесс, получаем бесконечное множество решений: (3; 2), (17; 12), (577; 408), ...