Номер 1286 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1286.
Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению х² − у² = 69.
💡 Подсказка (без ответа)
Разложи левую часть уравнения как разность квадратов: х² − у² = (х − у)(х + у). Затем найди все делители числа 69 и составь из них пары множителей.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решим уравнение х² − у² = 69 в натуральных числах.
Шаг 1: Разложим левую часть на множители
х² − у² = (х − у)(х + у) = 69
Шаг 2: Найдём все делители числа 69
69 = 3 × 23
Делители: 1, 3, 23, 69
Шаг 3: Составим все возможные пары делителей
Так как х и у — натуральные числа, то х > у, поэтому:
- х − у > 0
- х + у > 0
Возможные разложения:
- (х − у)(х + у) = 1 × 69
- (х − у)(х + у) = 3 × 23
Шаг 4: Решим первый случай: х − у = 1, х + у = 69
Сложим уравнения: 2х = 70, откуда х = 35
Вычтем: 2у = 68, откуда у = 34
Проверка: 35² − 34² = 1225 − 1156 = 69 ✓
Шаг 5: Решим второй случай: х − у = 3, х + у = 23
Сложим уравнения: 2х = 26, откуда х = 13
Вычтем: 2у = 20, откуда у = 10
Проверка: 13² − 10² = 169 − 100 = 69 ✓
Шаг 6: Проверим случаи х − у = 23, х + у = 3 и х − у = 69, х + у = 1
В обоих случаях получим х + у < х − у, что невозможно при положительных х и у.