Номер 1152 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1152.
Известно, что у = f(x) − возрастающая функция и а − некоторое число. Докажите, что уравнение f(x) = а имеет не более одного корня.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй метод от противного: предположи, что есть два разных корня x₁ и x₂, и получи противоречие со свойством возрастания функции (что x₁ < x₂ влечёт f(x₁) < f(x₂)).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Докажем методом от противного.
Предположим, что уравнение f(x) = а имеет два разных корня. Обозначим их как x₁ и x₂, где x₁ ≠ x₂.
Тогда по определению корня:
- f(x₁) = а
- f(x₂) = а
Это означает, что f(x₁) = f(x₂).
Рассмотрим два случая:
Случай 1: Пусть x₁ < x₂.
По условию f(x) — возрастающая функция. По определению возрастающей функции: если x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂).
Но мы получили, что f(x₁) = f(x₂).
Это противоречие!
Случай 2: Пусть x₁ > x₂.
Тогда x₂ < x₁, и по возрастанию функции: f(x₂) < f(x₁).
Опять получаем противоречие с равенством f(x₁) = f(x₂).
Вывод: Наше предположение неверно. Уравнение f(x) = а не может иметь два разных корня.
Следовательно, уравнение f(x) = а имеет не более одного корня (то есть либо ровно один корень, либо не имеет корней вообще).