Номер 1151 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1151.
Известно, что у = f(x) и у = g(х) − возрастающие (убывающие) функции. Докажите, что функция φ = f(x) + g(x) является возрастающей (убывающей) функцией.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни определение возрастающей функции: если x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂). Используй свойство: если a < b и c < d, то a + c < b + d. Примени это к f(x₁), f(x₂), g(x₁) и g(x₂).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Докажем это для случая, когда обе функции возрастающие. Для убывающих функций доказательство аналогично.
Дано:
- у = f(x) — возрастающая функция
- у = g(x) — возрастающая функция
- φ(x) = f(x) + g(x)
Доказательство:
Пусть x₁ и x₂ — два значения из области определения, причём x₁ < x₂.
Шаг 1. Так как f(x) — возрастающая функция, то из x₁ < x₂ следует: f(x₁) < f(x₂)
Шаг 2. Так как g(x) — возрастающая функция, то из x₁ < x₂ следует: g(x₁) < g(x₂)
Шаг 3. Сложим оба неравенства почленно (это можно делать, так как знаки неравенств совпадают): f(x₁) + g(x₁) < f(x₂) + g(x₂)
Шаг 4. Это означает: φ(x₁) < φ(x₂)
Шаг 5. Мы получили: если x₁ < x₂, то φ(x₁) < φ(x₂). Это и есть определение возрастающей функции.
Вывод: Функция φ(x) = f(x) + g(x) является возрастающей функцией.
Для убывающих функций: Если f(x) и g(x) убывают, то при x₁ < x₂ будет f(x₁) > f(x₂) и g(x₁) > g(x₂). Сложив эти неравенства, получим φ(x₁) > φ(x₂), что означает убывание функции φ(x).