Номер 1024 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1024.
Используя выделение из трехчлена квадрата двучлена, докажите неравенство:
а) а² + ab + b² ≥ 0 б) a² − ab + b² ≥ 0
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй представить каждый трёхчлен в виде суммы квадрата двучлена и ещё одного неотрицательного выражения. Начни с того, что (a ± b/2)² дает квадратный и линейный члены с нужными коэффициентами.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Докажем оба неравенства, выделив полный квадрат из трёхчлена.
а) a² + ab + b² ≥ 0
Шаг 1. Возьмём трёхчлен a² + ab + b².
Шаг 2. Выделим квадрат двучлена. Заметим, что если раскрыть (a + b/2)², получим: (a + b/2)² = a² + 2·a·(b/2) + (b/2)² = a² + ab + b²/4
Шаг 3. Преобразуем исходный трёхчлен: a² + ab + b² = a² + ab + b²/4 + b² - b²/4 = (a + b/2)² + 3b²/4
Шаг 4. Анализируем результат:
- (a + b/2)² ≥ 0 (квадрат любого числа неотрицателен)
- 3b²/4 ≥ 0 (произведение положительного числа на квадрат)
Шаг 5. Сумма двух неотрицательных выражений: (a + b/2)² + 3b²/4 ≥ 0
Следовательно, a² + ab + b² ≥ 0 ✓
б) a² − ab + b² ≥ 0
Шаг 1. Возьмём трёхчлен a² − ab + b².
Шаг 2. Выделим квадрат двучлена. Заметим, что: (a − b/2)² = a² − 2·a·(b/2) + (b/2)² = a² − ab + b²/4
Шаг 3. Преобразуем исходный трёхчлен: a² − ab + b² = a² − ab + b²/4 + b² − b²/4 = (a − b/2)² + 3b²/4
Шаг 4. Анализируем результат:
- (a − b/2)² ≥ 0 (квадрат любого числа неотрицателен)
- 3b²/4 ≥ 0 (произведение положительного числа на квадрат)
Шаг 5. Сумма двух неотрицательных выражений: (a − b/2)² + 3b²/4 ≥ 0
Следовательно, a² − ab + b² ≥ 0 ✓
Примечание: Оба трёхчлена принимают значение 0 только когда a = 0 и b = 0, во всех остальных случаях строго больше нуля.