Номер 1025 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1025.
Докажите, что при а > 0 и b > 0 верно неравенство:
а) (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4;
б) a/b² + b/a² ≥ 1/a + 1/b
💡 Подсказка (без ответа)
а) Раскройте скобки и получите 2 + a/b + b/a. Вспомните, что сумма двух положительных взаимно обратных выражений не менее 2. б) Перепишите неравенство как a/b² - 1/b + b/a² - 1/a ≥ 0 и сгруппируйте по парам.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Докажите, что (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4 при a > 0 и b > 0
Раскроем скобки в левой части: (a + b)(1/a + 1/b) = a · 1/a + a · 1/b + b · 1/a + b · 1/b
Упростим каждое произведение: = 1 + a/b + b/a + 1 = 2 + a/b + b/a
Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Для положительных чисел верно: a/b + b/a ≥ 2√(a/b · b/a) = 2√1 = 2
Следовательно: 2 + a/b + b/a ≥ 2 + 2 = 4
Равенство достигается, когда a/b = b/a, то есть a = b.
б) Докажите, что a/b² + b/a² ≥ 1/a + 1/b при a > 0 и b > 0
Перенесем всё в левую часть: a/b² + b/a² - 1/a - 1/b ≥ 0
Приведем к общему знаменателю a²b²: (a³ + b³ - ab - a²b)/a²b² ≥ 0
Преобразуем числитель: a³ + b³ - ab - a²b = a³ - a²b + b³ - ab = a²(a - b) + b(b² - a) = a²(a - b) - b(a² - b²) = a²(a - b) - b(a - b)(a + b) = (a - b)(a² - b(a + b)) = (a - b)(a² - ab - b²)
Проверим другой способ. Применим неравенство: (a/b² + b/a²) - (1/a + 1/b) = a/b² - 1/b + b/a² - 1/a = (a - b)/b² + (b - a)/a² = (a - b)/b² - (a - b)/a² = (a - b)(1/b² - 1/a²) = (a - b)(a² - b²)/a²b² = (a - b)²(a + b)/a²b² ≥ 0
Равенство достигается, когда a = b.