Номер 1023 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1023.
Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь сторону квадрата через a, стороны прямоугольника через x и y. Вырази условие равенства периметров и используй неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим сторону квадрата буквой a.
Тогда периметр квадрата равен: P = 4a
Площадь квадрата равна: S_кв = a²
Теперь рассмотрим прямоугольник с тем же периметром. Обозначим его стороны буквами x и y, где x ≠ y (прямоугольник не является квадратом).
Периметр прямоугольника: P = 2(x + y) = 4a
Следовательно: x + y = 2a
Площадь прямоугольника: S_пр = x · y
Сравним площади. Используем неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
Для положительных чисел x и y справедливо: (x + y)/2 ≥ √(x · y)
Подставим x + y = 2a:
2a/2 ≥ √(x · y)
a ≥ √(x · y)
Возводим обе части в квадрат:
a² ≥ x · y
S_кв ≥ S_пр
Равенство достигается только когда x = y, то есть когда прямоугольник является квадратом.