Номер 99 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
Редакция 2024
№ 99.
Дано 12 натуральных чисел. Докажите, что из них всегда можно выбрать два, разность которых делится нацело на 11.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, сколько различных остатков может быть при делении на 11. Примени принцип Дирихле (если распределяешь больше предметов, чем ящиков, то в одном ящике будет минимум два предмета).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решим эту задачу методом Дирихле (принцип ящиков).
Шаг 1. Вспомним, что при делении любого натурального числа на 11 остаток может быть только: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 или 10. Это 11 возможных остатков.
Шаг 2. У нас есть 12 натуральных чисел. Каждое из них при делении на 11 даёт один из 11 остатков.
Шаг 3. Применим принцип Дирихле: если мы распределяем 12 чисел по 11 возможным остаткам, то по крайней мере два числа должны иметь одинаковый остаток при делении на 11.
Шаг 4. Пусть два числа имеют одинаковый остаток при делении на 11. Обозначим их a и b (где a > b).
Тогда:
- a = 11k + r (где r — остаток)
- b = 11m + r (где r — тот же остаток)
Шаг 5. Найдём разность: a - b = (11k + r) - (11m + r) = 11k - 11m = 11(k - m)
Шаг 6. Полученная разность 11(k - m) делится нацело на 11.
Вывод: Из любых 12 натуральных чисел всегда можно выбрать два, разность которых делится на 11. ✓
Редакция 2018
№ 99.
Вкладчик положил в банк 3000 грн на два различных депозитных счета, причем по первому счету ему начисляли 7% годовых, а по второму – 8% годовых. Через год он получил 222 грн прибыли. Какая сумма была внесена на каждый счет?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте сумму на первом счете через х, тогда на втором будет (3000 - х). Найдите прибыль с каждого счета, умножив сумму на процентную ставку (переведя проценты в десятичные дроби). Составьте уравнение, приравняв сумму обеих прибылей к 222.
Решение по шагам
Обозначим сумму на первом счете как х грн, тогда на втором счете будет (3000 - х) грн.
По первому счету прибыль составит: 0,07х грн (это 7% от х)
По второму счету прибыль составит: 0,08(3000 - х) грн (это 8% от суммы на втором счете)
Общая прибыль равна 222 грн, поэтому составляем уравнение:
0,07х + 0,08(3000 - х) = 222
Раскрываем скобки:
0,07х + 240 - 0,08х = 222
Приводим подобные члены:
-0,01х + 240 = 222
Переносим 240 в правую часть:
-0,01х = 222 - 240
-0,01х = -18
Делим обе части на -0,01:
х = -18 ÷ (-0,01) = 1800
На первом счете было: 1800 грн
На втором счете было: 3000 - 1800 = 1200 грн
Проверка: Прибыль с первого счета: 1800 × 0,07 = 126 грн Прибыль со второго счета: 1200 × 0,08 = 96 грн Общая прибыль: 126 + 96 = 222 грн ✓