Номер 941 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 941.
Графиком уравнения (x2 + у2 + у)2 = x2 + у2 является кривая, которую называют кардиоидой (рис. 49). Найдите координаты точек ее пересечения с осями координат.
💡 Подсказка (без ответа)
Для нахождения пересечений с осями подставляй 0 вместо одной переменной. С осью х подставь y = 0, с осью у подставь x = 0. Затем реши получившиеся уравнения и проверь найденные корни.
Решение по шагам
Найдем точки пересечения кардиоиды с осями координат.
Пересечение с осью х (где y = 0):
Подставляем y = 0 в уравнение (x² + y² + y)² = x² + y²:
(x² + 0 + 0)² = x² + 0
(x²)² = x²
x⁴ = x²
x⁴ - x² = 0
x²(x² - 1) = 0
x²(x - 1)(x + 1) = 0
Отсюда: x = 0 или x = 1 или x = -1
Точки на оси х: (0; 0), (1; 0), (-1; 0)
Пересечение с осью у (где x = 0):
Подставляем x = 0 в уравнение:
(0 + y² + y)² = 0 + y²
(y² + y)² = y²
(y(y + 1))² = y²
y²(y + 1)² = y²
Разделим на y² (при y ≠ 0):
(y + 1)² = 1
y + 1 = 1 или y + 1 = -1
y = 0 или y = -2
Проверим y = 0: (0 + 0)² = 0 — верно.
Проверим y = -2: (4 - 2)² = 4, а 4 = 4 — верно.
Точки на оси у: (0; 0), (0; -2)
Итоговые точки пересечения:
(0; 0), (1; 0), (-1; 0), (0; -2)