Номер 905 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 905.
Докажите, что при любом значении х значение выражения | x | – x больше соответствующего значения выражения 2х – х2 – 2.
💡 Подсказка (без ответа)
Перенесите все части в левую часть, получив |x| - 3x + x² + 2 > 0. Затем разберите два случая: когда x ≥ 0 (где |x| = x) и когда x < 0 (где |x| = -x). В первом случае приведите к полному квадрату, во втором — исследуйте знак квадратного трёхчлена.
Решение по шагам
Нужно доказать, что |x| - x > 2x - x² - 2 при любом значении x.
Перенесём всё в левую часть и покажем, что выражение всегда положительно: |x| - x - 2x + x² + 2 > 0 |x| - 3x + x² + 2 > 0
Рассмотрим два случая:
Случай 1: x ≥ 0
Тогда |x| = x
Подставляем: x - 3x + x² + 2 > 0 x² - 2x + 2 > 0
Выделим полный квадрат: x² - 2x + 1 + 1 > 0 (x - 1)² + 1 > 0
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому (x - 1)² ≥ 0, а значит (x - 1)² + 1 ≥ 1 > 0. ✓
Случай 2: x < 0
Тогда |x| = -x
Подставляем: -x - 3x + x² + 2 > 0 x² - 4x + 2 > 0
Вычислим дискриминант квадратного трёхчлена: D = (-4)² - 4·1·2 = 16 - 8 = 8 > 0
Найдём корни: x = (4 ± √8)/2 = (4 ± 2√2)/2 = 2 ± √2
Примерно: √2 ≈ 1,41, поэтому корни примерно 0,59 и 3,41
Парабола y = x² - 4x + 2 ветвями вверх. Она положительна при x < 2 - √2 или x > 2 + √2.
Поскольку мы рассматриваем x < 0, а 2 - √2 ≈ 0,59 > 0, то все значения x < 0 находятся в области x < 2 - √2, где x² - 4x + 2 > 0. ✓
Вывод: При любом значении x неравенство |x| - x > 2x - x² - 2 верно.