Номер 902 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 902.
Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь три последовательных числа как n, n+1, n+2. Раскрой скобки в кубах (n+1)³ и (n+2)³, используя формулу (a+b)³. Сложи все три выражения и попробуй вынести общий множитель.
Решение по шагам
Обозначим три последовательных натуральных числа как n, n+1 и n+2, где n — натуральное число.
Нужно доказать, что n³ + (n+1)³ + (n+2)³ делится на 3.
Раскроем скобки: (n+1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1 (n+2)³ = n³ + 3·n²·2 + 3·n·4 + 8 = n³ + 6n² + 12n + 8
Найдем сумму: n³ + (n³ + 3n² + 3n + 1) + (n³ + 6n² + 12n + 8) = 3n³ + 9n² + 15n + 9
Вынесем общий множитель 3: 3n³ + 9n² + 15n + 9 = 3(n³ + 3n² + 5n + 3)
Поскольку полученное выражение содержит множитель 3, сумма кубов трех последовательных натуральных чисел всегда делится на 3.
Что и требовалось доказать.