Номер 843 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 843.
Докажите, что при любом нечетном значении n значение выражения (4n + 1)2 − (п + 4)2 кратно 120.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу разности квадратов a² − b² = (a − b)(a + b). После упрощения получишь произведение с множителем 15. Затем представь нечётное n в виде 2k + 1 и покажи, что n² − 1 делится на 8.
Решение по шагам
Нужно доказать, что выражение (4n + 1)² − (n + 4)² делится на 120 при любом нечётном n.
Шаг 1. Применим формулу разности квадратов
(4n + 1)² − (n + 4)² = [(4n + 1) − (n + 4)][(4n + 1) + (n + 4)]
Шаг 2. Упростим первую скобку
(4n + 1) − (n + 4) = 4n + 1 − n − 4 = 3n − 3 = 3(n − 1)
Шаг 3. Упростим вторую скобку
(4n + 1) + (n + 4) = 4n + 1 + n + 4 = 5n + 5 = 5(n + 1)
Шаг 4. Подставим результаты
(4n + 1)² − (n + 4)² = 3(n − 1) · 5(n + 1) = 15(n − 1)(n + 1)
Шаг 5. Раскроем скобку (n − 1)(n + 1)
(n − 1)(n + 1) = n² − 1
Получаем: 15(n² − 1)
Шаг 6. Используем, что n — нечётное число
Пусть n = 2k + 1, где k — целое число.
Тогда: n² − 1 = (2k + 1)² − 1 = 4k² + 4k + 1 − 1 = 4k² + 4k = 4k(k + 1)
Шаг 7. Заметим, что k(k + 1) — произведение двух последовательных чисел
Оно всегда чётно! Значит, k(k + 1) = 2m для некоторого целого m.
Тогда: n² − 1 = 4 · 2m = 8m
Шаг 8. Подставим обратно
15(n² − 1) = 15 · 8m = 120m
Это выражение делится на 120!
Вывод: При любом нечётном значении n выражение (4n + 1)² − (n + 4)² кратно 120. ✓