Номер 788 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 788.
Натуральные числа х и у таковы, что 34х = 43у. Докажите, что число х + у составное.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй свойство: если произведение делится на простое число, а один множитель на это число не делится, то другой множитель должен делиться. Вырази х и у через параметр k, а затем найди их сумму.
Решение по шагам
Нужно доказать, что число х + у составное (то есть делится на какое-то число, отличное от 1 и от самого себя).
Шаг 1. Анализируем уравнение 34х = 43у
Числа 34 и 43 не имеют общих делителей (оба простые в контексте: 34 = 2 × 17, а 43 — простое число). Поэтому они взаимно простые.
Шаг 2. Применяем свойство взаимно простых чисел
Из уравнения 34х = 43у следует:
- На 43 должно делиться число 34х
- Так как НОД(34, 43) = 1, то на 43 должно делиться х
- Значит, х = 43k для некоторого натурального числа k
Аналогично:
- На 34 должно делиться число 43у
- Так как НОД(43, 34) = 1, то на 34 должно делиться у
- Значит, у = 34m для некоторого натурального числа m
Шаг 3. Подставляем в исходное уравнение
34 × 43k = 43 × 34m
34 × 43k = 43 × 34m
Делим обе части на 34 × 43:
k = m
Шаг 4. Находим х + у
x + y = 43k + 34k = k(43 + 34) = k × 77 = k × 7 × 11
Шаг 5. Вывод
Так как k — натуральное число и х, у тоже натуральные, то k ≥ 1.
Следовательно, x + y = 77k имеет делители: 1, 7, 11, 77 и сам k, 7k, 11k и другие.
Число х + у делится на 77 (при k = 1) или на 7, или на 11, или имеет другие делители.
Это значит, что х + у не равно 1 и не простое число (имеет делитель 77, 7 или 11).
Поэтому х + у — составное число.