Номер 703 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 703.
Найдите значение каждого из данных выражений при a = 1 и а = −1:
1) a + a2 + a3 + a4 + ... + a99 + a100; 2) a + a2 + a3 + a4 + ... + a98 + a99; 3) aa2a3a4...a99a100; 4) aa2a3a4...a98a99.
💡 Подсказка (без ответа)
Для сумм степеней учитывай, что (−1) в нечётной степени даёт −1, а в чётной — даёт 1. Для произведений степеней используй правило: a^m · a^n = a^(m+n). Вспомни формулу суммы: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.
Решение по шагам
Найдём значение каждого выражения при двух значениях a.
1) a + a² + a³ + a⁴ + ... + a⁹⁹ + a¹⁰⁰
При a = 1: Все степени числа 1 равны 1. 1 + 1 + 1 + ... + 1 (всего 100 слагаемых) = 100
При a = −1: Чётные степени (−1) дают 1, нечётные степени дают −1. (−1) + 1 + (−1) + 1 + ... + (−1) + 1 Всего 100 слагаемых: 50 нечётных степеней (дают −1) и 50 чётных степеней (дают 1). 50 · (−1) + 50 · 1 = −50 + 50 = 0
2) a + a² + a³ + a⁴ + ... + a⁹⁸ + a⁹⁹
При a = 1: Все степени равны 1. 1 + 1 + 1 + ... + 1 (всего 99 слагаемых) = 99
При a = −1: Всего 99 слагаемых: 50 нечётных степеней (дают −1) и 49 чётных степеней (дают 1). 50 · (−1) + 49 · 1 = −50 + 49 = −1
3) a · a² · a³ · a⁴ · ... · a⁹⁹ · a¹⁰⁰
По правилу умножения степеней с одинаковым основанием: a^(1+2+3+...+100) = a^(5050)
(Сумма: 1 + 2 + 3 + ... + 100 = 100 · 101 / 2 = 5050)
При a = 1: 1^5050 = 1
При a = −1: (−1)^5050 = 1 (так как 5050 — чётное число)
4) a · a² · a³ · a⁴ · ... · a⁹⁸ · a⁹⁹
По правилу умножения степеней: a^(1+2+3+...+99) = a^(4950)
(Сумма: 1 + 2 + 3 + ... + 99 = 99 · 100 / 2 = 4950)
При a = 1: 1^4950 = 1
При a = −1: (−1)^4950 = 1 (так как 4950 — чётное число)