Номер 694 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 694.
Можно ли утверждать, что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число, то на это число делится нацело:
1) разность их квадратов;
2) сумма их квадратов;
3) сумма их кубов?
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулы разложения многочленов: разность квадратов (a² - b²), сумма кубов (a³ + b³). Если множитель (a + b) делится на d, то и всё произведение делится на d. Для пункта 2) подбери конкретный пример, где это не работает.
Решение по шагам
Обозначим два натуральных числа как a и b. По условию, (a + b) делится нацело на некоторое натуральное число d.
1) Разность их квадратов
Разность квадратов можно разложить: a² - b² = (a + b)(a - b)
Так как (a + b) делится на d, то и произведение (a + b)(a - b) делится на d. Значит, разность квадратов a² - b² тоже делится на d.
Ответ: ДА, это верно.
2) Сумма их квадратов
Проверим на примере: Пусть a = 3, b = 2. Тогда a + b = 5. Пусть d = 5. Сумма 3 + 2 = 5 делится на 5.
Проверим сумму квадратов: 3² + 2² = 9 + 4 = 13
13 не делится нацело на 5 (13 : 5 = 2 остаток 3).
Ответ: НЕТ, это неверно. Контрпример найден.
3) Сумма их кубов
Сумму кубов можно разложить: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Так как (a + b) делится на d, то и произведение (a + b)(a² - ab + b²) делится на d. Значит, сумма кубов a³ + b³ тоже делится на d.
Ответ: ДА, это верно.