Номер 693 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 693.
Придумайте многочлен, который можно разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите придуманный многочлен на множители по этим формулам.
💡 Подсказка (без ответа)
Подумай, какое выражение можно одновременно записать как квадрат некоторого выражения и как куб другого выражения. Попробуй x⁶ — это и (x³)², и (x²)³ одновременно.
Решение по шагам
Нужно найти многочлен, который одновременно является разностью квадратов и разностью кубов.
Шаг 1. Подумаем о структуре.
Разность квадратов: a² - b² Разность кубов: a³ - b³
Чтобы выражение было обеими разностями одновременно, нужно взять выражение вида (a³)² - (b³)² = a⁶ - b⁶
Это одновременно:
- разность квадратов: (a³)² - (b³)²
- разность кубов: (a²)³ - (b²)³
Шаг 2. Возьмём конкретный пример.
Пусть a = x, b = 1 Тогда многочлен: x⁶ - 1
Шаг 3. Разложим по формуле разности квадратов.
x⁶ - 1 = (x³)² - 1² = (x³ - 1)(x³ + 1)
Шаг 4. Разложим по формуле разности кубов.
x⁶ - 1 = (x²)³ - 1³ = (x² - 1)(x⁴ + x² + 1)
Шаг 5. Заметим, что оба разложения верны, но можно расложить ещё глубже.
Первое разложение (через разность квадратов): x⁶ - 1 = (x³ - 1)(x³ + 1)
Эти скобки тоже раскладываются по формулам разности и суммы кубов:
- x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)
- x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1)
Полное разложение: x⁶ - 1 = (x - 1)(x + 1)(x² + x + 1)(x² - x + 1)