Номер 695 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 695.
Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечетных натуральных чисел делится нацело на 4.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте два последовательных нечётных числа как 2n - 1 и 2n + 1. Раскройте кубы по формуле суммы кубов или возведите в куб по формуле (a ± b)³, затем сложите полученные выражения и вынесите общий множитель 4.
Решение по шагам
Обозначим два последовательных нечётных натуральных числа.
Пусть первое нечётное число — это 2n - 1, где n — натуральное число. Тогда второе нечётное число — это 2n + 1.
Найдём сумму их кубов: (2n - 1)³ + (2n + 1)³
Разложим каждый куб по формуле (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³:
(2n - 1)³ = (2n)³ - 3(2n)²·1 + 3(2n)·1² - 1³ = 8n³ - 12n² + 6n - 1
(2n + 1)³ = (2n)³ + 3(2n)²·1 + 3(2n)·1² + 1³ = 8n³ + 12n² + 6n + 1
Сложим эти выражения: (2n - 1)³ + (2n + 1)³ = (8n³ - 12n² + 6n - 1) + (8n³ + 12n² + 6n + 1) = 16n³ + 12n = 4(4n³ + 3n)
Получили произведение 4 на выражение (4n³ + 3n).
Поскольку сумма кубов представима в виде 4 · (4n³ + 3n), где (4n³ + 3n) — целое число, то сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.
Что и требовалось доказать.