Номер 658 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 658.
Существуют ли такие значения х и у, при которых равно нулю значение многочлена:
1) х2 + 4у2 + 2х – 4у + 2; 2) 9x2 + y2 – 12x + 8у + 21?
💡 Подсказка (без ответа)
Преобразуй каждый многочлен, выделив полные квадраты (дополни члены с x и с y). Вспомни, что сумма квадратов равна нулю только когда каждый квадрат равен нулю. Если остаётся положительное число, то равенство нулю невозможно.
Решение по шагам
Нужно проверить, можно ли преобразовать каждый многочлен в сумму квадратов и выяснить, когда эта сумма равна нулю.
Пункт 1) x² + 4y² + 2x – 4y + 2
Переставим члены и сгруппируем: x² + 2x + 4y² – 4y + 2
Дополним до полных квадратов:
- Для x: x² + 2x + 1 – 1 = (x + 1)²
- Для y: 4y² – 4y + 1 – 1 = (2y – 1)²
Получается: (x + 1)² + (2y – 1)² – 1 – 1 + 2 (x + 1)² + (2y – 1)² = 0
Сумма двух квадратов равна нулю, только если каждый квадрат равен нулю:
- (x + 1)² = 0 → x = –1
- (2y – 1)² = 0 → 2y = 1 → y = 0,5
Проверка: (–1)² + 4·(0,5)² + 2·(–1) – 4·(0,5) + 2 = 1 + 1 – 2 – 2 + 2 = 0 ✓
Ответ: ДА, существуют. x = –1, y = 0,5
Пункт 2) 9x² + y² – 12x + 8y + 21
Группируем и дополняем до полных квадратов:
- Для x: 9x² – 12x = 9(x² – 4x/3) = 9(x² – 4x/3 + 4/9 – 4/9) = 9((x – 2/3)² – 4/9) = 9(x – 2/3)² – 4
- Для y: y² + 8y = (y + 4)² – 16
Получается: 9(x – 2/3)² – 4 + (y + 4)² – 16 + 21 9(x – 2/3)² + (y + 4)² + 1 = 0
Сумма двух квадратов плюс положительное число всегда больше нуля. Минимум этого выражения = 1 > 0
Ответ: НЕТ, не существуют.