Номер 657 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 657.
При каких значениях х и у равно нулю значение многочлена:
1) х2 + у2 + 8х – 10у + 41; 2) x2 + 37y2 + 12ху – 2у + 1?
💡 Подсказка (без ответа)
В обоих примерах нужно выделить полные квадраты. Вспомни формулу: a² + 2ab + b² = (a + b)². Сумма квадратов может быть равна нулю только если каждый квадрат равен нулю.
Решение по шагам
Задание №657
1) x² + y² + 8x – 10y + 41 = 0
Заметим, что это выражение можно переписать как сумму квадратов. Сгруппируем члены:
(x² + 8x) + (y² – 10y) + 41 = 0
Дополним до полного квадрата для x: x² + 8x = (x + 4)² – 16
Дополним до полного квадрата для y: y² – 10y = (y – 5)² – 25
Подставляем: (x + 4)² – 16 + (y – 5)² – 25 + 41 = 0
(x + 4)² + (y – 5)² – 16 – 25 + 41 = 0
(x + 4)² + (y – 5)² = 0
Сумма двух квадратов равна нулю только если каждый квадрат равен нулю:
(x + 4)² = 0 → x = –4
(y – 5)² = 0 → y = 5
2) x² + 37y² + 12xy – 2y + 1 = 0
Попытаемся выделить полный квадрат. Заметим, что x² + 12xy + ? должны быть частью квадрата вида (x + ay)².
Проверим: (x + 6y)² = x² + 12xy + 36y²
Тогда: x² + 12xy + 36y² + y² – 2y + 1 = 0
(x + 6y)² + (y² – 2y + 1) = 0
(x + 6y)² + (y – 1)² = 0
Сумма двух квадратов равна нулю только если каждый квадрат равен нулю:
(y – 1)² = 0 → y = 1
(x + 6y)² = 0 → x + 6(1) = 0 → x = –6