Номер 651 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 651.
Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:
1) х2 – 28х + 200; 2) 9х2 + 30х – 25?
💡 Подсказка (без ответа)
Нужно выделить полный квадрат двучлена из квадратичного выражения. Для этого используй формулу (a ± b)² = a² ± 2ab + b². После выделения полного квадрата в виде (выражение)² + число легко найти минимум, так как квадрат всегда неотрицателен.
Решение по шагам
Для нахождения наименьшего значения квадратичного выражения нужно выделить полный квадрат двучлена.
1) х² – 28х + 200
Выделим полный квадрат:
- Возьмём половину коэффициента при х: –28 ÷ 2 = –14
- Возведём в квадрат: (–14)² = 196
Пеепишем выражение: х² – 28х + 200 = х² – 28х + 196 – 196 + 200
Получим: = (х – 14)² + 4
Так как (х – 14)² ≥ 0 для всех х, то наименьшее значение выражения равно 4 (когда (х – 14)² = 0).
Это происходит при х = 14.
Проверка: 14² – 28 · 14 + 200 = 196 – 392 + 200 = 4 ✓
2) 9х² + 30х – 25
Сначала вынесем коэффициент 9 из первых двух членов: 9х² + 30х – 25 = 9(х² + 30/9 · х) – 25
Упростим: 30/9 = 10/3
= 9(х² + 10/3 · х) – 25
Выделим полный квадрат в скобках:
- Половина коэффициента при х: (10/3) ÷ 2 = 5/3
- Возведём в квадрат: (5/3)² = 25/9
= 9(х² + 10/3 · х + 25/9 – 25/9) – 25
= 9((х + 5/3)² – 25/9) – 25
= 9(х + 5/3)² – 9 · 25/9 – 25
= 9(х + 5/3)² – 25 – 25
= 9(х + 5/3)² – 50
Так как 9(х + 5/3)² ≥ 0, то наименьшее значение выражения равно –50 (когда х + 5/3 = 0).
Это происходит при х = –5/3 или х ≈ –1,67.
Проверка: 9 · (–5/3)² + 30 · (–5/3) – 25 = 9 · 25/9 – 50 – 25 = 25 – 50 – 25 = –50 ✓