Номер 650 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 650.
Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:
1) –х2 – 16х + 36; 2) 2 – 16х2 + 24х?
💡 Подсказка (без ответа)
В обоих случаях перед х² стоит минус, значит парабола ветвями вниз и есть максимум. Выдели полный квадрат: представь выражение в виде –(х ± a)² + b. Тогда максимум будет равен b.
Решение по шагам
Оба выражения содержат квадратные члены с отрицательным коэффициентом, поэтому они имеют максимальное значение.
1) –х² – 16х + 36
Приведём к стандартному виду, выделим полный квадрат:
–х² – 16х + 36 = –(х² + 16х) + 36
Дополним х² + 16х до полного квадрата: –(х² + 16х + 64 – 64) + 36 = –(х² + 16х + 64) + 64 + 36 = –(х + 8)² + 100
Поскольку –(х + 8)² ≤ 0 для всех значений х, максимум выражения равен 100. Это происходит, когда (х + 8)² = 0, то есть х + 8 = 0, откуда х = –8.
Проверка: –(–8)² – 16(–8) + 36 = –64 + 128 + 36 = 100 ✓
2) 2 – 16х² + 24х (или –16х² + 24х + 2)
Выделим полный квадрат: –16х² + 24х + 2 = –16(х² – 1,5х) + 2
Дополним х² – 1,5х до полного квадрата: х² – 1,5х = (х – 0,75)² – 0,5625
Получаем: –16((х – 0,75)² – 0,5625) + 2 = –16(х – 0,75)² + 9 + 2 = –16(х – 0,75)² + 11
Максимум равен 11 при х = 0,75.
Проверка: 2 – 16(0,75)² + 24(0,75) = 2 – 9 + 18 = 11 ✓