Номер 612 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 612.
При каком значении а уравнение (2а – 3х)2 + (х – 1)2 = 10(х – 2)(х + 2) не имеет корней?
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрой все скобки, приведи подобные слагаемые. Уравнение не имеет корней, когда коэффициент при х равен нулю, но само уравнение не является тождеством. Приравняй коэффициент при х к нулю и найди значение а.
Решение по шагам
Раскроем скобки и упростим уравнение.
Шаг 1. Раскроем левую часть.
(2а – 3х)² = 4а² – 12ах + 9х²
(х – 1)² = х² – 2х + 1
Левая часть: 4а² – 12ах + 9х² + х² – 2х + 1 = 4а² – 12ах + 10х² – 2х + 1
Шаг 2. Раскроем правую часть.
(х – 2)(х + 2) = х² – 4
10(х² – 4) = 10х² – 40
Шаг 3. Перенесём всё в левую часть.
4а² – 12ах + 10х² – 2х + 1 = 10х² – 40
4а² – 12ах + 10х² – 2х + 1 – 10х² + 40 = 0
4а² – 12ах – 2х + 41 = 0
Шаг 4. Собираем по переменной х.
–12ах – 2х + 4а² + 41 = 0
x(–12a – 2) + 4a² + 41 = 0
–2x(6a + 1) + 4a² + 41 = 0
–2x(6a + 1) = –4a² – 41
Шаг 5. Находим условие отсутствия корней.
Уравнение не имеет корней, когда коэффициент при х равен нулю, но свободный член не равен нулю.
Коэффициент при х: –2(6a + 1) = 0
6a + 1 = 0
a = –1/6
Проверим свободный член: 4a² + 41 = 4 · 1/36 + 41 = 1/9 + 41 ≠ 0 ✓
Уравнение действительно не имеет корней.