Номер 613 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 613.
Докажите тождество (2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2
= (2n2 + 2n + 1)2.
Данное тождество является правилом Пифагора (VI в. до н.э.) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного треугольника. При одном и том же натуральном значении n значения выражений 2n + 1; 2n2 + 2n; 2n2 + 2n + 1 являются длинами сторон прямоугольного треугольника.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте скобки в обеих частях уравнения, используя формулу квадрата суммы (a + b)² = a² + 2ab + b². Приведите подобные члены слева и справа отдельно и убедитесь, что получились одинаковые выражения.
Решение по шагам
Решение задания №613
Докажем тождество: (2n + 1)² + (2n² + 2n)² = (2n² + 2n + 1)²
Откроем скобки в левой части:
Первое слагаемое: (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1
Второе слагаемое: (2n² + 2n)² = 4n⁴ + 8n³ + 4n²
(Проверим: (2n² + 2n)² = (2n²)² + 2·2n²·2n + (2n)² = 4n⁴ + 8n³ + 4n²)
Левая часть: 4n² + 4n + 1 + 4n⁴ + 8n³ + 4n² = 4n⁴ + 8n³ + 8n² + 4n + 1
Правая часть: (2n² + 2n + 1)² = (2n²)² + (2n)² + 1² + 2·2n²·2n + 2·2n²·1 + 2·2n·1
= 4n⁴ + 4n² + 1 + 8n³ + 4n² + 4n
= 4n⁴ + 8n³ + 8n² + 4n + 1
Вывод: Левая часть = Правая часть = 4n⁴ + 8n³ + 8n² + 4n + 1
Тождество доказано! ✓
Пример для n = 1:
- Первый катет: 2·1 + 1 = 3
- Второй катет: 2·1² + 2·1 = 4
- Гипотенуза: 2·1² + 2·1 + 1 = 5
Проверка: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² — верно! (Это известный треугольник 3-4-5)