Номер 605 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 605.
Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4, то квадрат этого числа делится нацело на 16.
💡 Подсказка (без ответа)
Запишите число в виде n = 16k + 4 (по определению деления с остатком). Затем возведите обе части в квадрат и раскройте скобки по формуле квадрата суммы.
Решение по шагам
Давайте докажем это пошагово.
Пусть натуральное число, которое при делении на 16 дает остаток 4, обозначим как n.
Шаг 1: Запишем число в виде деления с остатком. Если остаток при делении n на 16 равен 4, то можно записать: n = 16k + 4, где k — некоторое натуральное число (частное от деления)
Шаг 2: Найдем квадрат этого числа. Возведем обе части в квадрат: n² = (16k + 4)²
Шаг 3: Раскроем скобки по формуле квадрата суммы (a + b)² = a² + 2ab + b². n² = (16k)² + 2 · 16k · 4 + 4² n² = 256k² + 128k + 16
Шаг 4: Вынесем общий множитель 16. n² = 16(16k² + 8k + 1)
Шаг 5: Проверим делимость. Мы получили, что n² = 16 · (некоторое натуральное число)
Это означает, что n² делится нацело на 16, так как представимо в виде произведения 16 на целое число (16k² + 8k + 1).
Что и требовалось доказать.