Номер 603 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 603.
Выясните, какой остаток может давать квадрат натурального числа при делении на 4?
💡 Подсказка (без ответа)
Рассмотри, какой остаток дает натуральное число при делении на 4, а затем возведи его в квадрат. Проверь все возможные случаи (остатки 0, 1, 2, 3).
Решение по шагам
Проверим, какие остатки могут получиться, когда мы возводим натуральные числа в квадрат и делим на 4.
Проанализируем по остаткам при делении на 4. Любое натуральное число при делении на 4 дает остаток 0, 1, 2 или 3.
Случай 1: число дает остаток 0 при делении на 4 Если n = 4k, то n² = (4k)² = 16k² = 4 · 4k² Остаток при делении на 4: 0
Случай 2: число дает остаток 1 при делении на 4 Если n = 4k + 1, то n² = (4k + 1)² = 16k² + 8k + 1 = 4(4k² + 2k) + 1 Остаток при делении на 4: 1
Случай 3: число дает остаток 2 при делении на 4 Если n = 4k + 2, то n² = (4k + 2)² = 16k² + 16k + 4 = 4(4k² + 4k + 1) Остаток при делении на 4: 0
Случай 4: число дает остаток 3 при делении на 4 Если n = 4k + 3, то n² = (4k + 3)² = 16k² + 24k + 9 = 4(4k² + 6k + 2) + 1 Остаток при делении на 4: 1
Проверка на примерах: 1² = 1 (остаток 1) 2² = 4 (остаток 0) 3² = 9 (остаток 1) 4² = 16 (остаток 0) 5² = 25 (остаток 1) 6² = 36 (остаток 0) 7² = 49 (остаток 1)