Номер 602 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 602.
Чему равен остаток при делении квадрата нечетного натурального числа на 8?
💡 Подсказка (без ответа)
Запиши нечетное число в виде 2k + 1, возведи в квадрат и упрости выражение. Обрати внимание, что произведение двух последовательных чисел всегда четное.
Решение по шагам
Обозначим нечетное натуральное число как n. Любое нечетное число можно записать в виде n = 2k + 1, где k — натуральное число или нуль.
Шаг 1. Найдем n²: n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1
Шаг 2. Разложим на множители: n² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1
Шаг 3. Проанализируем произведение k(k + 1): Произведение двух последовательных чисел k и (k + 1) всегда четное, так как одно из них обязательно четное. Поэтому k(k + 1) = 2m для некоторого натурального числа m.
Шаг 4. Подставим: n² = 4 · 2m + 1 = 8m + 1
Шаг 5. Выводим остаток: Полученное выражение 8m + 1 показывает, что при делении n² на 8 получается остаток 1.
Проверка на примерах: • 1² = 1; 1 : 8 = 0 (ост. 1) ✓ • 3² = 9; 9 : 8 = 1 (ост. 1) ✓ • 5² = 25; 25 : 8 = 3 (ост. 1) ✓ • 7² = 49; 49 : 8 = 6 (ост. 1) ✓