Номер 599 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 599.
Выведите формулу куба разности двух выражений (a – b)3 = а3 – 3a2b + 3ab2 – b3. Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:
1) (1 – х)3; 2) (х – 5у)3.
💡 Подсказка (без ответа)
Сначала найди квадрат разности (a – b)², а потом умножь результат на (a – b). Раскрой скобки и приведи подобные члены — получишь формулу. Для второй части просто подставь нужные значения в выведенную формулу.
Решение по шагам
Вывод формулы куба разности:
Куб разности — это (a – b)³, что означает (a – b) · (a – b) · (a – b).
Сначала найдём (a – b)²: (a – b)² = a² – 2ab + b²
Теперь умножим результат на (a – b): (a – b)³ = (a² – 2ab + b²) · (a – b)
Раскроем скобки, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:
- a² · a = a³
- a² · (–b) = –a²b
- (–2ab) · a = –2a²b
- (–2ab) · (–b) = 2ab²
- b² · a = ab²
- b² · (–b) = –b³
Соберём подобные члены: (a – b)³ = a³ – a²b – 2a²b + 2ab² + ab² – b³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Применение формулы:
1) (1 – x)³
Здесь a = 1, b = x. Подставляем в формулу:
(1 – x)³ = 1³ – 3 · 1² · x + 3 · 1 · x² – x³
(1 – x)³ = 1 – 3x + 3x² – x³
2) (x – 5y)³
Здесь a = x, b = 5y. Подставляем в формулу:
(x – 5y)³ = x³ – 3 · x² · 5y + 3 · x · (5y)² – (5y)³
(x – 5y)³ = x³ – 15x²y + 3 · x · 25y² – 125y³
(x – 5y)³ = x³ – 15x²y + 75xy² – 125y³